Как решать дроби: правила, примеры для тренировки и задания с ответами

Дроби перестают путать, когда понятно, что показывают числитель и знаменатель. Дальше остаются четыре действия, сравнение и сокращение — разбираем их на примерах и заданиях с ответами. Потренироваться можно прямо здесь: в статье есть тренажёр по дробям на 100 заданий.

Что такое дробь и что показывают числитель со знаменателем

Представьте плитку шоколада из восьми одинаковых долек. Вы отломили три. Три взятые дольки из восьми записываются как 3/8. Дробь показывает, сколько равных долей взяли.

Число сверху — числитель. Оно отвечает на вопрос «сколько долей взяли?». Число снизу — знаменатель. Оно подсказывает, на сколько равных долей разделили целое. В дроби 3/8 числитель равен 3, а знаменатель — 8.

Части целого должны быть равными. Если один кусок пирога получился большим, а другой совсем маленьким, считать их половинами нельзя. Дроби работают только тогда, когда целое поделили поровну.

Дробь можно отметить на числовой прямой. Разделим отрезок от 0 до 1 на четыре равные части и отсчитаем три деления от нуля. Получим точку 3/4. По рисунку видно, что 3/4 меньше 1, но больше 1/2.

Правило без исключений. В знаменателе не бывает нуля. Запись 5/0 не имеет смысла — делить на ноль нельзя.

Проверьте себя: назовите числитель и знаменатель дроби 7/10. Числитель — 7, знаменатель — 10. Взяли семь долей, а целое разделили на десять равных частей.

Дарья Максимова, методист «100балльного репетитора» по математике, объясняет: «Если понять, что показывают числитель и знаменатель, дроби перестают выглядеть как набор непонятных чисел».

Тренажёр по дробям: практика с объяснениями

В тренажёре можно выбрать нужную тему: сокращение дробей, сложение, деление, задачи, десятичные дроби или смешанную тренировку. Для некоторых тем доступен уровень сложности — можно начать с простых примеров или сразу взять задания посложнее.

• В одной тренировке 10 заданий. Ответ записывайте так, как обычно пишете в тетради: дробь — 3/4, смешанное число — 1 2/3, десятичное — 0,75 или 0.75. В задачах достаточно ввести только число, без единиц измерения вроде «см» или «кг».
• Тренажёр понимает равные значения: например, 1/2 и 0,5 считаются одним и тем же ответом. Но если в задании нужно именно сократить дробь или записать ответ в виде смешанного числа, важно указать его в нужной форме — ведь тренируется именно этот навык.
• Если ответ не получился с первого раза, можно попробовать ещё раз или открыть пошаговое решение и посмотреть, где возникла ошибка. После десяти заданий тренажёр покажет результат и подскажет, какие темы стоит повторить. А кнопка «Повторить трудное» соберёт отдельную тренировку из заданий, с которыми возникли сложности.
• Проходить все 10 заданий сразу необязательно. Тренажёр запоминает, где вы остановились: можно закрыть страницу и позже продолжить с того же места.

Какие бывают дроби

По числителю и знаменателю сразу видно, меньше ли дробь единицы или в ней уже спрятались целые. По этому признаку дроби делят на правильные и неправильные. Неправильную дробь можно записать смешанным числом.

Правильные и неправильные дроби

Если числитель меньше знаменателя, дробь называют правильной: 3/5, 7/12, 9/10. В каждой из них взяли меньше долей, чем нужно для целого, поэтому такая дробь меньше 1.

Если числитель равен знаменателю или больше него, дробь неправильная: 5/5, 7/4, 11/6. В дроби 5/5 собраны все пять пятых, поэтому она равна 1. А в 7/4 есть четыре четверти, то есть одно целое, и ещё три четверти.

Название «неправильная» не означает, что в записи допущена ошибка. Это обычный математический термин. Неправильные дроби используют в вычислениях так же, как правильные.

Смешанные числа

Неправильную дробь 7/4 можно записать понятнее: 1 3/4. Это смешанное число — в нём есть целая и дробная части.

Чтобы выделить целую часть, разделим 7 на 4. Получится 1 целое и остаток 3. Частное записываем перед дробью, остаток ставим в числитель, а знаменатель оставляем прежним: 7/4 = 1 3/4.

В дроби 11/5 число 11 делится на 5 два раза, в остатке остаётся 1. Поэтому 11/5 = 2 1/5. Целая часть равна 2, дробная — 1/5.

Иногда нужно двигаться в обратную сторону — превратить смешанное число в неправильную дробь. Возьмём 2 1/3. Умножим целую часть на знаменатель и прибавим числитель: 2 × 3 + 1 = 7. Получаем 7/3. Знаменатель не меняется.

Короткая подсказка. Из неправильной дроби в смешанное число — делим. Из смешанного числа в неправильную дробь — умножаем целую часть на знаменатель и прибавляем числитель.

Попробуйте сами: представьте 13/6 в виде смешанного числа, а 4 3/5 — в виде неправильной дроби. Ответы: 2 1/6 и 23/5.

Как сравнивать и сокращать дроби

Способ сравнения зависит от того, что у дробей одинаковое: знаменатели, числители или ни то ни другое. В первых двух случаях достаточно сравнить одну часть записи. В третьем дроби приводят к общему знаменателю.

Сравнение дробей

Если знаменатели одинаковые, доли одинакового размера. Остаётся сравнить их количество. Например, 5/8 > 3/8, потому что пять одинаковых долей больше трёх.

Если одинаковы числители, больше дробь с меньшим знаменателем. Звучит непривычно, поэтому лучше представить пиццу. Если поделить её на пять частей, каждый кусок будет крупнее, чем при делении на семь частей. Значит, 3/5 > 3/7.

Когда не совпадает ничего, приведём дроби к общему знаменателю. Сравним 2/3 и 3/4. Число 12 делится и на 3, и на 4, поэтому оно подходит:

• 2/3 = 8/12
• 3/4 = 9/12.

Получили дроби с одинаковыми знаменателями: 8/12 < 9/12, значит, 2/3 < 3/4.

Если ответ вызывает сомнение, отметьте обе дроби на числовой прямой. Большая дробь окажется правее. Так вы проверите себя, не пересчитывая пример заново.

Попробуйте сами: сравните 4/9 и 7/9; 5/6 и 5/8; 3/5 и 7/10. Ответы: 4/9 < 7/9; 5/6 > 5/8; 3/5 < 7/10.

Сокращение дробей

Сократить дробь — значит записать её проще, не меняя значения. Для этого числитель и знаменатель делят на одно и то же число. Например, в дроби 6/8 обе части делятся на 2:

6/8 = 3/4.

Почему значение осталось прежним? Представьте шесть маленьких долек из восьми. Если объединить каждые две соседние дольки, получится три более крупные доли из четырёх. Количество шоколада не изменилось — изменилась только запись.

Дробь 18/24 удобно сразу сократить на 6: 18/24 = 3/4. Если общий делитель не виден, двигайтесь небольшими шагами: 24/36 = 12/18 = 6/9 = 2/3. Оба способа верны.

В конце проверьте, можно ли ещё разделить числитель и знаменатель на одно и то же число, кроме единицы. Если нельзя, дробь сокращена полностью. Делить только числитель или только знаменатель нельзя: из 6/8 нельзя получить 3/8, потому что это уже другое число.

Попробуйте сами: сократите 14/21, 16/20 и 45/60. Ответы: 2/3, 4/5 и 3/4.

Как выполнять действия с обыкновенными дробями

Не торопитесь считать. Сначала назовите действие вслух: сложение, вычитание, умножение или деление. Для поиска общего знаменателя и сокращения пригодится таблица умножения.

Сложение дробей

Если знаменатели одинаковые, складываем числители, а знаменатель оставляем прежним:

2/9 + 5/9 = 7/9.

Мы складываем количество девятых долей. Сами доли от сложения не становятся ни крупнее, ни мельче, поэтому знаменатель 9 остаётся на месте.

При разных знаменателях сначала нужно сделать доли одинаковыми. Сложим 3/4 и 5/6. Общий знаменатель — 12:

3/4 + 5/6 = 9/12 + 10/12 = 19/12 = 1 7/12.

Порядок решения такой:

1. Найдите общий знаменатель.
2. Приведите к нему обе дроби.
3. Сложите числители.
4. Сократите ответ и, если нужно, выделите целую часть.

Со смешанными числами иногда можно считать прямо. Например, 1 2/5 + 2 1/5 = 3 3/5. Но если у дробных частей разные знаменатели или в сумме они дают больше единицы, надёжнее сначала превратить смешанные числа в неправильные дроби.

Попробуйте сами: 3/11 + 5/11; 2/3 + 1/4; 1 3/7 + 2 2/7. Ответы: 8/11; 11/12; 3 5/7.

Вычитание дробей

Логика почти та же. При одинаковых знаменателях вычитаем числители:

7/10 − 3/10 = 4/10 = 2/5.

При разных знаменателях сначала приводим дроби к общему. Например:

5/6 − 1/4 = 10/12 − 3/12 = 7/12.

Смешанные числа можно перевести в неправильные дроби. Разберём 3 1/4 − 1 2/3:

3 1/4 − 1 2/3 = 13/4 − 5/3 = 39/12 − 20/12 = 19/12 = 1 7/12.

После вычитания сравните ответ с уменьшаемым: разность должна быть меньше. Если получилось больше, проверьте общий знаменатель и знак действия.

Попробуйте сами: 8/13 − 3/13 и 7/8 − 1/6. Ответы: 5/13 и 17/24.

Умножение дробей

При умножении общий знаменатель не нужен. Числители умножают между собой, знаменатели — между собой:

3/5 × 2/7 = 6/35.

Если числа крупные, сократите их до умножения. В примере 4/9 × 3/8 можно сократить 4 и 8 на 4, а 3 и 9 — на 3. Останется 1/3 × 1/2 = 1/6. Ответ тот же, а считать заметно проще.

Смешанное число сначала переводим в неправильную дробь:

1 1/2 × 2/3 = 3/2 × 2/3 = 1.

Попробуйте сами: 2/5 × 3/7; 6/11 × 11/18; 2 1/3 × 3/7. Ответы: 6/35; 1/3; 1.

Деление дробей

У деления есть один шаг, который важно не перепутать: вторую дробь нужно заменить обратной, а знак деления — знаком умножения.

3/5 : 2/7 = 3/5 × 7/2 = 21/10 = 2 1/10.

Первая дробь остаётся как была. Переворачиваем только делитель, то есть вторую дробь. Целое число можно записать со знаменателем 1:

4 : 2/3 = 4/1 × 3/2 = 6.

Если встретилось смешанное число, сначала превратите его в неправильную дробь:

1 1/2 : 3/4 = 3/2 × 4/3 = 2.

На ноль не делят и здесь: перевернуть нулевую дробь не выйдет, в знаменателе окажется ноль.

Попробуйте сами: 5/6 : 2/3; 3 : 9/10; 2 1/4 : 3/8. Ответы: 5/4, или 1 1/4; 10/3, или 3 1/3; 6.

Как решать задачи с дробями

В текстовой задаче труднее всего не посчитать, а понять, что именно искать. Поэтому сначала отложите вычисления и задайте себе простой вопрос: что мне известно — целое или только его часть?

Как найти дробь от числа

Если целое известно, а найти нужно часть, разделите число на знаменатель и умножьте на числитель.

Найдём 3/5 от 40. Сначала узнаем, чему равна одна пятая: 40 : 5 = 8. Теперь возьмём три такие части: 8 × 3 = 24. Значит, 3/5 от 40 равны 24.

Разберём похожую задачу. В классе 30 учеников, 2/5 из них участвуют в соревнованиях. Одна пятая класса — это 30 : 5 = 6 человек. Тогда две пятых — 6 × 2 = 12 человек.

Как найти число по его дроби

Если известна часть, а найти нужно целое, порядок действий меняется. Туристы прошли 18 км — это 3/4 маршрута. Одна четверть равна 18 : 3 = 6 км. В полном маршруте четыре такие части: 6 × 4 = 24 км.

Два типа задач отличаются порядком действий:

• известно целое, ищем часть — делим на знаменатель и умножаем на числитель
• известна часть, ищем целое — делим на числитель и умножаем на знаменатель.

Проверяйте ответ по смыслу: часть всегда меньше целого. Три пятых от числа меньше самого числа, а целое, восстановленное по трём пятым, больше известной части. Вышло наоборот — значит, выбрано не то действие.

Попробуйте сами: найдите 4/7 от 56; восстановите число, если его 5/8 равны 35; определите, какую часть от 24 составляет число 6. Ответы: 32; 56; 1/4.

Как работать с десятичными дробями

Обыкновенные дроби записывают с чертой, а десятичные — с запятой. Но говорят они о том же самом: о частях целого. Например, 0,7 = 7/10, а 0,35 = 35/100. После запятой по порядку стоят десятые, сотые, тысячные и следующие разряды.

Как сравнивать десятичные дроби

Сравнивайте числа слева направо: сначала целые части, затем десятые, сотые и дальше. Справа можно дописать нули — значение не изменится. Поэтому 0,7 можно записать как 0,70. Теперь хорошо видно, что 0,70 > 0,65.

Так же сравним 2,08 и 2,8. Запишем второе число как 2,80. Целые части равны, но восемь десятых больше нуля десятых, поэтому 2,08 < 2,80.

Сложение и вычитание десятичных дробей

Главная опора здесь — разряды. Запишите числа столбиком так, чтобы запятая оказалась под запятой. Тогда десятые будут стоять под десятыми, а сотые — под сотыми. Если нужно делить натуральные числа, смотрите деление столбиком.

Для суммы 2,35 + 0,7 допишем ноль: 0,7 = 0,70. Получаем 2,35 + 0,70 = 3,05.

При вычитании поступаем так же: 5,2 − 1,47 превращается в 5,20 − 1,47. Ответ — 3,73.

Умножение и деление десятичных дробей

При умножении сначала можно на время «не замечать» запятые. Умножим 0,6 на 0,4: 6 × 4 = 24. В двух множителях вместе два знака после запятой, поэтому отделяем справа две цифры и получаем 0,24.

При делении задача другая: сделать делитель целым. В примере 3,6 : 0,12 перенесём запятую в обоих числах на два знака вправо. Получится 360 : 12 = 30. Мы одинаково увеличили оба числа, поэтому частное не изменилось.

Задача с десятичными дробями. В бутылке было 1,5 л воды, 0,35 л использовали. Осталось 1,5 − 0,35 = 1,15 л. Перед вычислением записываем числа как 1,50 и 0,35, чтобы одинаковые разряды стояли друг под другом.

Чтобы превратить обыкновенную дробь в десятичную, разделите числитель на знаменатель: 3/4 = 0,75. Эту же часть можно записать в процентах: 75%. Но конечная десятичная запись получается не всегда. Например, 1/3 = 0,333… — тройки продолжаются без конца.

Попробуйте сами: сравните 1,05 и 1,5; вычислите 4,8 + 0,36 и 2,5 × 0,4; переведите 1/5 в десятичную дробь. Ответы: 1,05 < 1,5; 5,16; 1; 0,2.

Как решать уравнения с дробями

Уравнение не требует новых правил для дробей. Сначала определите, какую роль играет неизвестное, затем выполните обратное действие. А после решения обязательно верните найденное число в исходное уравнение — подстановка быстро покажет, не потерялся ли знак или множитель.

Найдём неизвестное слагаемое:

x + 2/5 = 7/10.

Вычтем известное слагаемое из суммы: x = 7/10 − 2/5 = 7/10 − 4/10 = 3/10. Проверяем: 3/10 + 4/10 = 7/10.

Пример с неизвестным множителем:

x × 3/4 = 9/8.

Разделим произведение на известный множитель: x = 9/8 : 3/4 = 9/8 × 4/3 = 3/2.

Если неизвестное стоит в делителе, разделите делимое на частное. В уравнении 3/4 : x = 3/2 получаем x = 3/4 : 3/2 = 3/4 × 2/3 = 1/2. Проверка: 3/4 : 1/2 = 3/2.

Попробуйте сами: решите x − 1/6 = 2/3; x × 5/8 = 15/16; x : 0,4 = 1,5. Ответы: 5/6; 3/2; 0,6.

Типичные ошибки при работе с дробями

Ошибка в дробях почти никогда не означает, что человек «не способен к математике». Обычно в одном шаге просто перепутались два правила. Пять типичных ошибок показывают, какой шаг решения нужно проверить.

1. Сложили знаменатели. В записи 1/3 + 1/3 = 2/6 знаменатель изменили зря. Мы складываем две трети, поэтому получаем 2/3.
2. Выбрали число, которое не делится на оба знаменателя. Для 1/6 и 1/4 число 10 не подходит. А 12 делится и на 6, и на 4, поэтому может быть общим знаменателем.
3. Перевернули первую дробь при делении. В примере 2/3 : 4/5 обратной становится только вторая дробь: 2/3 × 5/4 = 5/6.
4. Сократили только одну часть дроби. Из 6/8 нельзя получить 3/8. Делим на 2 и числитель, и знаменатель: 6/8 = 3/4.
5. Не проверили размер ответа. Три четверти от 20 не могут быть больше 20. Считаем: 20 : 4 × 3 = 15.

Проверка за полминуты. Посмотрите на знак действия, знаменатели, возможность сокращения и примерный размер ответа. Эти четыре пункта помогают найти ошибочный шаг, не пересчитывая весь пример.

Примеры с дробями для самостоятельной тренировки

В заданиях смешаны разные темы, поэтому сначала определите, какое правило понадобится, и только потом считайте. Если ответ не сошёлся, проверьте каждый шаг решения отдельно. Обычно ошибка находится в выборе действия, общем знаменателе или сокращении.

1. 7/12 + 1/12.
2. 7/8 − 1/3.
3. 4/9 × 3/10.
4. 5/6 : 10/9.
5. Сравните 7/10 и 2/3.
6. Сократите 42/56.
7. Представьте 17/5 в виде смешанного числа.
8. Найдите 3/8 от 64.
9. Найдите целое число, если его 4/7 равны 20.
10. Вычислите 2,4 : 0,06.

Ответы: 1) 2/3; 2) 13/24; 3) 2/15; 4) 3/4; 5) 7/10 > 2/3; 6) 3/4; 7) 3 2/5; 8) 24; 9) 35; 10) 40.

Краткая памятка по дробям

В памятке — основные действия с дробями, короткие примеры и способы проверки. Её удобно распечатать и держать под рукой.

Что запомнить

Дроби становятся понятнее, когда за каждым правилом виден смысл. Знаменатель показывает размер долей, числитель — их количество. Для сложения и вычитания нужны одинаковые доли, при умножении общий знаменатель не требуется, а при делении переворачивают вторую дробь.

Не старайтесь решить сразу много сложных примеров. Возьмите один тип задания, спокойно разберите два-три шага и только потом добавляйте следующий. Если ошиблись, найдите конкретное место и поправьте его. Именно так дроби из трудной темы постепенно превращаются в обычную, знакомую работу. Когда с числовыми дробями станет спокойно, можно переходить к дробям с буквами: сокращать их помогают формулы сокращённого умножения.