Как решать дроби: правила, примеры для тренировки и задания с ответами

Чтобы понять, как решать дроби, начните со смысла числителя и знаменателя. Тогда станет ясно, почему доли приводят к общему знаменателю, как их сокращают и какое действие выбирают в задаче. Закрепить правила помогут примеры и задания с ответами.

Что такое дробь и что показывают числитель со знаменателем

Представьте плитку шоколада из восьми одинаковых долек. Вы отломили три. Три взятые дольки из восьми записываются как 3/8. Дробь показывает, сколько равных долей взяли.

Число сверху — числитель. Оно отвечает на вопрос «сколько долей взяли?». Число снизу — знаменатель. Оно подсказывает, на сколько равных долей разделили целое. В дроби 3/8 числитель равен 3, а знаменатель — 8.

Части целого должны быть равными. Если один кусок пирога получился большим, а другой совсем маленьким, считать их половинами нельзя. Дроби работают только тогда, когда целое поделили поровну.

Дробь можно отметить на числовой прямой. Разделим отрезок от 0 до 1 на четыре равные части и отсчитаем три деления от нуля. Получим точку 3/4. По рисунку видно, что 3/4 меньше 1, но больше 1/2.

Запомните одну строгую вещь. В знаменателе не бывает нуля. Запись 5/0 не имеет смысла: делить на ноль нельзя.

Проверьте себя: назовите числитель и знаменатель дроби 7/10. Числитель — 7, знаменатель — 10. Семь долей взяли, на десять равных долей разделили целое.

Дарья Максимова, методист «100балльного репетитора» по математике, точно подмечает: «Если понять, что показывают числитель и знаменатель, дроби перестают выглядеть как набор непонятных чисел».

Какие бывают дроби

Соотношение числителя и знаменателя подсказывает, меньше дробь единицы или в ней уже спряталось одно либо несколько целых. По этому признаку дроби делят на правильные и неправильные. Неправильную дробь можно записать смешанным числом.

Правильные и неправильные дроби

Если числитель меньше знаменателя, дробь называют правильной: 3/5, 7/12, 9/10. В каждой из них взяли меньше долей, чем нужно для целого, поэтому такая дробь меньше 1.

Если числитель равен знаменателю или больше него, дробь неправильная: 5/5, 7/4, 11/6. В дроби 5/5 собраны все пять пятых, поэтому она равна 1. А в 7/4 есть четыре четверти, то есть одно целое, и ещё три четверти.

Название «неправильная» не означает, что в записи допущена ошибка. Это обычный математический термин. Неправильные дроби используют в вычислениях так же, как правильные.

Смешанные числа

Неправильную дробь 7/4 можно записать понятнее: 1 3/4. Это смешанное число — в нём есть целая и дробная части.

Чтобы выделить целую часть, разделим 7 на 4. Получится 1 целое и остаток 3. Частное записываем перед дробью, остаток ставим в числитель, а знаменатель оставляем прежним: 7/4 = 1 3/4.

В дроби 11/5 число 11 делится на 5 два раза, в остатке остаётся 1. Поэтому 11/5 = 2 1/5. Целая часть равна 2, дробная — 1/5.

Иногда нужно двигаться в обратную сторону — превратить смешанное число в неправильную дробь. Возьмём 2 1/3. Умножим целую часть на знаменатель и прибавим числитель: 2 × 3 + 1 = 7. Получаем 7/3. Знаменатель не меняется.

Короткая подсказка. Из неправильной дроби в смешанное число — делим. Из смешанного числа в неправильную дробь — умножаем целую часть на знаменатель и прибавляем числитель.

Попробуйте сами: представьте 13/6 в виде смешанного числа, а 4 3/5 — в виде неправильной дроби. Ответы: 2 1/6 и 23/5.

Как сравнивать и сокращать дроби

Способ сравнения зависит от того, что у дробей одинаковое: знаменатели, числители или ни то ни другое. В первых двух случаях достаточно сравнить одну часть записи. В третьем дроби приводят к общему знаменателю.

Сравнение дробей

Если знаменатели одинаковые, доли одинакового размера. Остаётся сравнить их количество. Например, 5/8 > 3/8, потому что пять одинаковых долей больше трёх.

Если одинаковы числители, больше дробь с меньшим знаменателем. Звучит непривычно, поэтому лучше представить пиццу. Если поделить её на пять частей, каждый кусок будет крупнее, чем при делении на семь частей. Значит, 3/5 > 3/7.

Когда не совпадает ничего, приведём дроби к общему знаменателю. Сравним 2/3 и 3/4. Число 12 делится и на 3, и на 4, поэтому оно подходит:

• 2/3 = 8/12
• 3/4 = 9/12.

Получили дроби с одинаковыми знаменателями: 8/12 < 9/12, значит, 2/3 < 3/4.

Если ответ вызывает сомнение, отметьте обе дроби на числовой прямой. Большая дробь окажется правее. Этот способ позволяет проверить сравнение без повторных вычислений.

Попробуйте сами: сравните 4/9 и 7/9; 5/6 и 5/8; 3/5 и 7/10. Ответы: 4/9 < 7/9; 5/6 > 5/8; 3/5 < 7/10.

Сокращение дробей

Сократить дробь — значит записать её проще, не меняя значения. Для этого числитель и знаменатель делят на одно и то же число. Например, в дроби 6/8 обе части делятся на 2:

6/8 = 3/4.

Почему значение осталось прежним? Представьте шесть маленьких долек из восьми. Если объединить каждые две соседние дольки, получится три более крупные доли из четырёх. Количество шоколада не изменилось — изменилась только запись.

Дробь 18/24 удобно сразу сократить на 6: 18/24 = 3/4. Если общий делитель не виден, двигайтесь небольшими шагами: 24/36 = 12/18 = 6/9 = 2/3. Оба способа верны.

В конце проверьте, можно ли ещё разделить числитель и знаменатель на одно число, кроме 1. Если нельзя, дробь сокращена полностью. Делить только числитель или только знаменатель нельзя: из 6/8 нельзя получить 3/8, потому что это уже другое число.

Попробуйте сами: сократите 14/21, 16/20 и 45/60. Ответы: 2/3, 4/5 и 3/4.

Как выполнять действия с обыкновенными дробями

Перед вычислением не торопитесь. Сначала назовите действие вслух: сложение, вычитание, умножение или деление. Для поиска общего знаменателя и сокращения пригодится таблица умножения.

Сложение дробей

Если знаменатели одинаковые, складываем числители, а знаменатель оставляем прежним:

2/9 + 5/9 = 7/9.

Мы складываем количество девятых долей. Сами доли от сложения не становятся ни крупнее, ни мельче, поэтому знаменатель 9 остаётся на месте.

При разных знаменателях сначала нужно сделать доли одинаковыми. Сложим 3/4 и 5/6. Общий знаменатель — 12:

3/4 + 5/6 = 9/12 + 10/12 = 19/12 = 1 7/12.

Порядок решения такой:

1. Найдите общий знаменатель.
2. Приведите к нему обе дроби.
3. Сложите числители.
4. Сократите ответ и, если нужно, выделите целую часть.

Со смешанными числами иногда можно считать прямо. Например, 1 2/5 + 2 1/5 = 3 3/5. Но если дробные части имеют разные знаменатели или их сумма больше единицы, надёжнее сначала превратить смешанные числа в неправильные дроби.

Попробуйте сами: 3/11 + 5/11; 2/3 + 1/4; 1 3/7 + 2 2/7. Ответы: 8/11; 11/12; 3 5/7.

Вычитание дробей

Логика почти та же. При одинаковых знаменателях вычитаем числители:

7/10 − 3/10 = 4/10 = 2/5.

При разных знаменателях сначала приводим дроби к общему. Например:

5/6 − 1/4 = 10/12 − 3/12 = 7/12.

Смешанные числа можно перевести в неправильные дроби. Разберём 3 1/4 − 1 2/3:

3 1/4 − 1 2/3 = 13/4 − 5/3 = 39/12 − 20/12 = 19/12 = 1 7/12.

После вычитания сравните ответ с уменьшаемым. Разность должна быть меньше него. Если получилось больше, проверьте общий знаменатель и знак действия.

Попробуйте сами: 8/13 − 3/13 и 7/8 − 1/6. Ответы: 5/13 и 17/24.

Умножение дробей

При умножении общий знаменатель не нужен. Числители умножают между собой, знаменатели — между собой:

3/5 × 2/7 = 6/35.

Если числа крупные, сократите их до умножения. В примере 4/9 × 3/8 можно сократить 4 и 8 на 4, а 3 и 9 — на 3. Останется 1/3 × 1/2 = 1/6. Ответ тот же, а считать заметно проще.

Смешанное число сначала переводим в неправильную дробь:

1 1/2 × 2/3 = 3/2 × 2/3 = 1.

Попробуйте сами: 2/5 × 3/7; 6/11 × 11/18; 2 1/3 × 3/7. Ответы: 6/35; 1/3; 1.

Деление дробей

У деления есть один шаг, который важно не перепутать: вторую дробь нужно заменить обратной, а знак деления — знаком умножения.

3/5 : 2/7 = 3/5 × 7/2 = 21/10 = 2 1/10.

Первая дробь остаётся как была. Переворачиваем только делитель, то есть вторую дробь. Целое число можно записать со знаменателем 1:

4 : 2/3 = 4/1 × 3/2 = 6.

Если встретилось смешанное число, сначала превратите его в неправильную дробь:

1 1/2 : 3/4 = 3/2 × 4/3 = 2.

Делить на ноль нельзя, поэтому делитель не может быть равен нулю.

Попробуйте сами: 5/6 : 2/3; 3 : 9/10; 2 1/4 : 3/8. Ответы: 5/4, или 1 1/4; 10/3, или 3 1/3; 6.

Как решать задачи с дробями

В текстовой задаче труднее всего не посчитать, а понять, что именно искать. Поэтому сначала отложите вычисления и задайте себе простой вопрос: мне известно всё целое или только его часть?

Как найти дробь от числа

Если целое известно, а найти нужно часть, разделите число на знаменатель и умножьте на числитель.

Найдём 3/5 от 40. Сначала узнаем, чему равна одна пятая: 40 : 5 = 8. Теперь возьмём три такие части: 8 × 3 = 24. Значит, 3/5 от 40 равны 24.

Разберём похожую задачу. В классе 30 учеников, 2/5 из них участвуют в соревнованиях. Одна пятая класса — это 30 : 5 = 6 человек. Тогда две пятых — 6 × 2 = 12 человек.

Как найти число по его дроби

Если известна часть, а найти нужно целое, порядок действий меняется. Туристы прошли 18 км — это 3/4 маршрута. Одна четверть равна 18 : 3 = 6 км. В полном маршруте четыре такие части: 6 × 4 = 24 км.

Два типа задач решаются так:

• известно целое, ищем часть — делим на знаменатель и умножаем на числитель
• известна часть, ищем целое — делим на числитель и умножаем на знаменатель.

Три пятых от положительного числа должны быть меньше всего числа. Целое, найденное по трём пятым, должно быть больше известной части. Если вышло наоборот, действие выбрано неверно.

Попробуйте сами: найдите 4/7 от 56; восстановите число, если его 5/8 равны 35; определите, какую часть от 24 составляет число 6. Ответы: 32; 56; 1/4.

Как работать с десятичными дробями

Обыкновенные дроби записывают с чертой, а десятичные — с запятой. Но говорят они о том же самом: о частях целого. Например, 0,7 = 7/10, а 0,35 = 35/100. После запятой по порядку стоят десятые, сотые, тысячные и следующие разряды.

Как сравнивать десятичные дроби

Сравнивайте числа слева направо: сначала целые части, затем десятые, сотые и дальше. Справа можно дописать нули — значение не изменится. Поэтому 0,7 можно записать как 0,70. Теперь хорошо видно, что 0,70 > 0,65.

Так же сравним 2,08 и 2,8. Запишем второе число как 2,80. Целые части равны, но восемь десятых больше нуля десятых, поэтому 2,08 < 2,80.

Сложение и вычитание десятичных дробей

Главная опора здесь — разряды. Запишите числа столбиком так, чтобы запятая оказалась под запятой. Тогда десятые будут стоять под десятыми, а сотые — под сотыми.

Для суммы 2,35 + 0,7 допишем ноль: 0,7 = 0,70. Получаем 2,35 + 0,70 = 3,05.

При вычитании поступаем так же: 5,2 − 1,47 превращается в 5,20 − 1,47. Ответ — 3,73.

Умножение и деление десятичных дробей

При умножении сначала можно на время «не замечать» запятые. Умножим 0,6 на 0,4: 6 × 4 = 24. В двух множителях вместе два знака после запятой, поэтому отделяем справа две цифры и получаем 0,24.

При делении задача другая: сделать делитель целым. В примере 3,6 : 0,12 перенесём запятую в обоих числах на два знака вправо. Получится 360 : 12 = 30. Мы одинаково увеличили оба числа, поэтому частное не изменилось.

Задача с десятичными дробями. В бутылке было 1,5 л воды, 0,35 л использовали. Осталось 1,5 − 0,35 = 1,15 л. Перед вычислением записываем числа как 1,50 и 0,35, чтобы одинаковые разряды стояли друг под другом.

Чтобы превратить обыкновенную дробь в десятичную, разделите числитель на знаменатель: 3/4 = 0,75. Эту же часть можно записать в процентах: 75%. Но конечная десятичная запись получается не всегда. Например, 1/3 = 0,333… — тройки продолжаются без конца.

Попробуйте сами: сравните 1,05 и 1,5; вычислите 4,8 + 0,36 и 2,5 × 0,4; переведите 1/5 в десятичную дробь. Ответы: 1,05 < 1,5; 5,16; 1; 0,2.

Как решать уравнения с дробями

Уравнение не требует новых правил для дробей. Сначала определите, какую роль играет неизвестное, затем выполните обратное действие. А после решения обязательно верните найденное число в исходное уравнение — подстановка быстро покажет, не потерялся ли знак или множитель.

Найдём неизвестное слагаемое:

x + 2/5 = 7/10.

Вычтем известное слагаемое из суммы: x = 7/10 − 2/5 = 7/10 − 4/10 = 3/10. Проверяем: 3/10 + 4/10 = 7/10.

Пример с неизвестным множителем:

x × 3/4 = 9/8.

Разделим произведение на известный множитель: x = 9/8 : 3/4 = 9/8 × 4/3 = 3/2.

Если неизвестное стоит в делителе, разделите делимое на частное. В уравнении 3/4 : x = 3/2 получаем x = 3/4 : 3/2 = 3/4 × 2/3 = 1/2. Проверка: 3/4 : 1/2 = 3/2.

Попробуйте сами: решите x − 1/6 = 2/3; x × 5/8 = 15/16; x : 0,4 = 1,5. Ответы: 5/6; 3/2; 0,6.

Типичные ошибки при работе с дробями

Ошибка в дробях почти никогда не означает, что человек «не способен к математике». Обычно в одном месте смешались два разных правила. Пять типичных ошибок показывают, какой шаг решения нужно проверить.

1. Сложили знаменатели. В записи 1/3 + 1/3 = 2/6 знаменатель изменили зря. Мы складываем две трети, поэтому получаем 2/3.
2. Выбрали число, которое не делится на оба знаменателя. Для 1/6 и 1/4 число 10 не подходит. А 12 делится и на 6, и на 4, поэтому может быть общим знаменателем.
3. Перевернули первую дробь при делении. В примере 2/3 : 4/5 обратной становится только вторая дробь: 2/3 × 5/4 = 5/6.
4. Сократили только одну часть дроби. Из 6/8 нельзя получить 3/8. Делим на 2 и числитель, и знаменатель: 6/8 = 3/4.
5. Не проверили размер ответа. Три четверти от 20 не могут быть больше 20. Считаем: 20 : 4 × 3 = 15.

Проверка за полминуты. Посмотрите на знак действия, знаменатели, возможность сокращения и примерный размер ответа. Эти четыре пункта помогают найти ошибочный шаг, не пересчитывая весь пример.

Примеры с дробями для самостоятельной тренировки

В заданиях смешаны разные темы, поэтому сначала определите, какое правило понадобится, и только потом считайте. Если ответ не сошёлся, проверьте каждый шаг решения отдельно. Обычно ошибка находится в выборе действия, общем знаменателе или сокращении.

1. 7/12 + 1/12.
2. 7/8 − 1/3.
3. 4/9 × 3/10.
4. 5/6 : 10/9.
5. Сравните 7/10 и 2/3.
6. Сократите 42/56.
7. Представьте 17/5 в виде смешанного числа.
8. Найдите 3/8 от 64.
9. Найдите целое число, если его 4/7 равны 20.
10. Вычислите 2,4 : 0,06.

Ответы: 1) 2/3; 2) 13/24; 3) 2/15; 4) 3/4; 5) 7/10 > 2/3; 6) 3/4; 7) 3 2/5; 8) 24; 9) 35; 10) 40.

Краткая памятка по дробям

Основные действия с дробями, короткие примеры и способы проверки собраны в памятке.

Что запомнить

Дроби становятся понятнее, когда за каждым правилом виден смысл. Знаменатель показывает размер долей, числитель — их количество. Для сложения и вычитания нужны одинаковые доли, при умножении общий знаменатель не требуется, а при делении переворачивают вторую дробь.

Не старайтесь решить сразу много сложных примеров. Возьмите один тип задания, спокойно разберите два-три шага и только потом добавляйте следующий. Если ошиблись, найдите конкретное место и поправьте его. Именно так дроби из трудной темы постепенно превращаются в обычную, знакомую работу.