Формулы сокращённого умножения: 7 формул, таблица, примеры и тренажёр

Формулы сокращённого умножения помогают узнавать знакомые конструкции и преобразовывать их без длинного перемножения. Здесь разберём 7 основных формул, научимся отличать их друг от друга, применять в примерах и проверять себя.

Все 7 формул сокращённого умножения в одной таблице

Посмотрите на формулы как на подсказки к типичным ситуациям. Видите скобку в квадрате — вспоминаете квадрат суммы или квадрат разности. Видите два квадрата и между ними минус — это уже разность квадратов. Та же логика работает и с кубами.

Буквы a и b в формулах — это просто условные обозначения. На их месте может стоять число, буква или целое выражение. Например, в (3x+5)² вместо a стоит 3x, а вместо b — 5. Если это сразу увидеть, формула перестаёт быть абстрактной.

Эту таблицу не нужно учить целиком за один раз. Гораздо полезнее научиться замечать признаки.

Смотрите на (x+3)². Здесь есть скобка, внутри стоит сумма, а сама скобка возведена в квадрат. Значит, перед нами квадрат суммы. В выражении (x-3)² всё почти то же самое, только внутри минус, поэтому нужна формула квадрата разности.

А теперь сравните:

(x-3)²

и

x²-9.

На вид они похожи: и там и там есть квадрат и минус. Но это разные конструкции. В первой вся разность x-3 возводится в квадрат. Во второй из x² вычитают 3². Поэтому и формулы будут разными. Именно на этом месте дети часто начинают путаться, и дальше мы ещё отдельно разберём, как их различать.

С кубами работает тот же принцип. Если вся скобка возведена в третью степень, речь идёт о кубе суммы или кубе разности:

(a+b)³, (a-b)³.

Если же перед нами уже два готовых куба:

a³+b³ или a³-b³,

это сумма кубов или разность кубов. Здесь формула нужна уже не для раскрытия скобок, а для разложения выражения на множители.

Формулы сокращённого умножения вообще удобно видеть в обе стороны. Возьмём разность квадратов:

x²-9 = (x-3)(x+3).

Если идём слева направо, мы замечаем x²-3² и раскладываем выражение на множители. Если встречаем

(x-3)(x+3),

можно узнать ту же формулу в обратную сторону и сразу получить x²-9.

Это важный навык: не просто помнить запись формулы, а узнавать её в конкретном примере.

Почему где-то пишут 3 формулы, а где-то 7

Здесь легко запутаться: в одном учебнике ребёнок видит три формулы, в другом справочнике — семь. Противоречия нет.

В базовой федеральной программе 7 класса прямо названы квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Это обязательный базовый набор. В углублённой программе 7 класса к ним добавляются куб суммы, куб разности, сумма кубов и разность кубов.

Поэтому семь формул удобно держать как общую карту темы, но не все школьники проходят их одновременно. Если ребёнок учится по базовой программе 7 класса, в обязательный набор входят три формулы с квадратами. В углублённой программе 7 класса к ним добавляются четыре кубические формулы.

Базовая федеральная рабочая программа по математике для 5–9 классов
Федеральная рабочая программа по математике для 7–9 классов, углублённый уровень

Что такое формулы сокращённого умножения и почему они работают

Иногда название «формулы сокращённого умножения» звучит так, будто речь идёт о каком-то особом виде умножения. На самом деле всё проще: это готовые тождества, которые позволяют не перемножать одинаковые конструкции заново каждый раз.

Тождество — это равенство, которое остаётся верным при любых допустимых значениях букв. Например,

(a+b)² = a²+2ab+b²

верно не только для каких-то специальных a и b. Можно взять a=2, b=5; можно взять a=x, b=3; можно вместо a подставить 2x, а вместо b — y. Логика формулы не меняется.

Посмотрим, откуда вообще берётся квадрат суммы. Если формулу забыть и раскрыть квадрат обычным умножением, получится:

(a+b)² = (a+b)(a+b).

Теперь перемножаем каждый член первой скобки на каждый член второй:

a·a + a·b + b·a + b·b.

Получаем:

a² + ab + ab + b².

Два одинаковых слагаемых ab складываются:

a² + 2ab + b².

Вот и вся формула. Средний член 2ab не взялся «из таблицы» и не появился по договорённости. Он возникает потому, что при обычном раскрытии скобок произведение ab получается дважды.

Это полезно помнить. Если ребёнок вдруг написал

(a+b)² = a²+b²,

можно не говорить ему «ты забыл формулу». Гораздо полезнее вернуть один шаг назад: «Раскрой (a+b)(a+b) обычным способом. Сколько раз получится ab?» Тогда ошибка становится понятной, а не просто исправленной.

Есть и наглядный способ увидеть ту же формулу. Представьте квадрат со стороной a+b. Его площадь равна (a+b)². Если разделить этот большой квадрат на части, внутри будут квадрат a², квадрат b² и два одинаковых прямоугольника площадью ab. Поэтому общая площадь снова получится:

a² + ab + ab + b² = a²+2ab+b².

Именно поэтому формулы сокращённого умножения лучше не учить как семь независимых строк. Если понятно, из чего они получаются, часть записи можно восстановить по смыслу.

Квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов

Эти три формулы часто оказываются рядом, и именно поэтому их легко перепутать. Названия похожи, везде есть квадрат, а в двух формулах ещё и минус. Но смотреть нужно не на отдельные значки, а на конструкцию целиком.

Сравните:

(a+b)²

(a-b)²

a²-b².

В первых двух случаях в квадрат возведена вся скобка. В третьем никакой общей скобки нет: из одного квадрата просто вычитают другой. Это три разные ситуации.

Квадрат суммы

Формула квадрата суммы:

(a+b)² = a² + 2ab + b².

Проговорить её можно так: квадрат первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго плюс квадрат второго.

Разберём простой пример:

(x+4)².

Сначала не спешим считать. Определяем, что играет роль a, а что — роль b:

• a=x;
• b=4.

Подставляем в формулу:

(x+4)² = x² + 2·x·4 + 4².

Теперь считаем то, что можно посчитать:

x² + 8x + 16.

Получаем:

(x+4)² = x²+8x+16.

Обратите внимание на средний член 8x. Он не равен просто x·4. В формуле стоит удвоенное произведение, поэтому x·4 нужно умножить ещё на 2.

Теперь пример чуть сложнее:

(3x+5)².

Здесь a=3x, а b=5. В квадрат нужно возвести всё первое выражение:

(3x)² = 9x².

Средний член:

2·3x·5 = 30x.

Последний:

5²=25.

Значит,

(3x+5)² = 9x²+30x+25.

Частая ошибка здесь — написать в начале 3x² вместо 9x². Если квадрат стоит над 3x, в квадрат возводятся и число 3, и x:

(3x)² = 3²·x² = 9x².

Проверим себя. Можно взять удобное значение, например x=1. Слева будет:

(3·1+5)²=8²=64.

Справа:

9·1²+30·1+25=9+30+25=64.

Значения совпали — хороший признак, что преобразование сделано верно.

Квадрат разности

Теперь посмотрим на квадрат разности:

(a-b)² = a² — 2ab + b².

Он очень похож на квадрат суммы, но средний член идёт со знаком минус.

Возьмём:

(x-4)².

Здесь a=x, b=4.

Подставляем:

(x-4)² = x² — 2·x·4 + 4².

Получаем:

x²-8x+16.

Самая частая ловушка — последний член. Иногда ребёнок видит минус в скобке и пишет:

x²-8x-16.

Но (-4)² — положительное число. Квадрат второго выражения в формуле квадрата разности всегда стоит со знаком плюс.

Можно проверить обычным умножением:

(x-4)(x-4).

Раскрываем:

x²-4x-4x+16.

Складываем средние члены:

x²-8x+16.

Теперь пример с выражением:

(2a-3b)².

Первое выражение — 2a, второе — 3b.

Квадрат первого:

(2a)²=4a².

Удвоенное произведение:

2·2a·3b=12ab.

Квадрат второго:

(3b)²=9b².

Итак,

(2a-3b)²=4a²-12ab+9b².

Здесь удобно смотреть на три части результата: квадрат первого — средний член — квадрат второго. Если последняя часть вдруг получилась со знаком минус, стоит остановиться и перепроверить.

Разность квадратов

Формула разности квадратов выглядит иначе:

a²-b²=(a-b)(a+b).

Здесь нет квадрата общей скобки. Слева стоят два отдельных квадрата и между ними минус.

Самый простой пример:

x²-25.

Число 25 — это 5², поэтому выражение можно увидеть так:

x²-5².

Теперь формула заметна:

x²-25=(x-5)(x+5).

Что произошло? Мы не раскрыли скобки, а наоборот — разложили выражение на множители.

Возьмём пример посложнее:

9a²-16b².

Сначала замечаем:

9a²=(3a)²;

16b²=(4b)².

Значит,

9a²-16b²=(3a)²-(4b)².

Теперь применяем формулу:

(3a-4b)(3a+4b).

Если сомневаетесь, результат можно проверить раскрытием скобок:

(3a-4b)(3a+4b).

Перемножаем:

9a²+12ab-12ab-16b².

Средние члены уничтожаются:

9a²-16b².

Получилось исходное выражение, значит разложение верное.

Есть простой ориентир: разность квадратов узнаём только тогда, когда обе части действительно можно представить как квадраты.

Например,

x²-18

не выглядит как удобная школьная разность квадратов с целыми коэффициентами: 18 не является квадратом целого числа. А вот

x²-36

сразу превращается в

x²-6²

и раскладывается:

(x-6)(x+6).

Куб суммы, куб разности, сумма и разность кубов

Кубические формулы выглядят длиннее квадратных, поэтому сначала кажется, что их сложнее запомнить. Но и здесь есть порядок. Две формулы помогают раскрывать скобку в третьей степени, ещё две — раскладывать сумму или разность кубов на множители.

Главное — не путать названия:

• куб суммы — это (a+b)³;
• сумма кубов — это a³+b³.

В одном случае сначала стоит скобка, а потом третья степень. В другом уже есть два отдельных куба.

Куб суммы и куб разности

Куб суммы:

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³.

Коэффициенты идут так:

1 — 3 — 3 — 1.

Если читать формулу не по буквам, а по устройству, получится:

1. куб первого выражения;
2. три квадрата первого, умноженные на второе;
3. три первых выражения, умноженные на квадрат второго;
4. куб второго выражения.

Возьмём:

(x+2)³.

Здесь a=x, b=2.

Подставляем:

x³ + 3·x²·2 + 3·x·2² + 2³.

Считаем:

x³+6x²+12x+8.

Теперь куб разности:

(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³.

Здесь те же коэффициенты 1, 3, 3, 1, но знаки чередуются:

+ — + —.

Например,

(x-2)³=x³-6x²+12x-8.

Обратите внимание: третий член здесь положительный. Это место часто вызывает ошибку. Если просто «поставить минусы везде, потому что в скобке минус», формула сломается.

Почему знаки именно такие, можно проверить обычным умножением:

(a-b)³=(a-b)(a-b)(a-b).

Если раскрыть скобки последовательно, получится ровно:

a³-3a²b+3ab²-b³.

Запоминать это проще как чередование знаков, а не как четыре независимых слагаемых.

Сумма кубов и разность кубов

Теперь другая ситуация: скобки нет, зато есть два готовых куба.

Сумма кубов:

a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²).

Разность кубов:

a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²).

Здесь полезно заметить одну закономерность. В первой скобке знак остаётся таким же, как между кубами. Во второй скобке знак среднего члена меняется на противоположный:

a³+b³ → (a+b)(a²-ab+b²);

a³-b³ → (a-b)(a²+ab+b²).

Возьмём:

x³+27.

Число 27 — это 3³. Значит,

x³+27=x³+3³.

Применяем формулу суммы кубов:

(x+3)(x²-3x+9).

Теперь пример на разность кубов:

8x³-27.

Сначала ищем, что здесь является кубом:

8x³=(2x)³;

27=3³.

Значит,

8x³-27=(2x)³-3³.

Используем формулу:

(2x-3)((2x)²+2x·3+3²).

Приводим выражение в привычный вид:

(2x-3)(4x²+6x+9).

Если хочется проверить, раскрываем скобки обратно. Все средние слагаемые сократятся, и останется 8x³-27.

Кубические формулы не нужно смешивать с базовым материалом 7 класса, если ребёнок их ещё не проходил. В базовой федеральной программе 7 класса обязательны квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Кубические формулы входят в углублённую программу 7 класса и могут встречаться в разных учебных траекториях в разное время. Поэтому при подготовке лучше ориентироваться не только на номер класса, но и на то, что уже было в конкретном учебнике и на уроках.

Как применять формулы сокращённого умножения: алгоритм и примеры

Когда ребёнок уже знает формулы, следующая трудность обычно не в вычислениях, а в выборе: какая из них здесь вообще нужна? Поэтому полезно не начинать с подстановки, а сначала научиться читать само выражение.

Вот рабочая последовательность.

1. Посмотрите, что стоит перед вами: скобка в степени, два квадрата, два куба, многочлен из трёх членов.
2. Найдите «крайние» части. Можно ли представить их как квадраты или кубы?
3. Посмотрите на знак: плюс или минус.
4. Проверьте средний член, если он есть.
5. Только после этого выбирайте формулу и решайте, в какую сторону её применять: раскрыть, свернуть или разложить на множители.

Такая пауза перед вычислением помогает не хвататься за первую знакомую формулу и сначала проверить, действительно ли она подходит.

Как раскрывать скобки и превращать выражение в многочлен

Возьмём:

(2x+5)².

Что видим? Скобка в квадрате, внутри плюс. Значит, пробуем квадрат суммы:

(a+b)²=a²+2ab+b².

Теперь определяем:

a=2x;

b=5.

Подставляем:

(2x+5)²=(2x)²+2·2x·5+5².

Получаем:

4x²+20x+25.

Обратите внимание: если сразу начать «раскрывать по памяти», легко потерять квадрат у коэффициента 2 или забыть средний член. А если сначала назвать a и b, решение становится гораздо спокойнее.

Теперь квадрат разности:

(3a-b)².

Первое выражение здесь — 3a, второе — b.

Получаем:

(3a-b)²=(3a)²-2·3a·b+b².

То есть:

9a²-6ab+b².

Проверка простая: первый и последний члены — квадраты того, что стояло в скобке. Средний — удвоенное произведение этих выражений.

Куб суммы работает так же, только членов будет четыре:

(x+3)³.

Подставляем a=x, b=3:

x³+3·x²·3+3·x·3²+3³.

Получаем:

x³+9x²+27x+27.

Здесь не нужно пытаться держать весь пример в голове. Лучше писать по частям. Формула длиннее, значит и цена спешки выше.

Как разложить многочлен на множители

Теперь пойдём в обратную сторону. Здесь формула уже не раскрывает скобки, а помогает увидеть скрытую конструкцию.

Пример:

x²+10x+25.

С первого взгляда это просто трёхчлен. Но посмотрим внимательнее.

Первый член:

x²=x².

Последний:

25=5².

Проверяем средний:

2·x·5=10x.

Совпало. Значит, перед нами полный квадрат суммы:

x²+10x+25=(x+5)².

Теперь:

4a²-12ab+9b².

Проверяем крайние члены:

4a²=(2a)²;

9b²=(3b)².

Для квадрата разности средний член должен быть:

-2·2a·3b=-12ab.

Именно он у нас и есть.

Поэтому:

4a²-12ab+9b²=(2a-3b)².

А если выражение состоит из двух членов:

25x²-49,

сначала представляем оба как квадраты:

(5x)²-7².

Перед нами разность квадратов:

25x²-49=(5x-7)(5x+7).

Здесь важно не угадывать по внешнему виду. Формула подходит только тогда, когда все её части совпадают. Если средний член у полного квадрата «почти такой же», но не тот, сворачивать выражение нельзя.

Например,

x²+8x+25

не равно (x+5)², потому что у (x+5)² средний член должен быть 10x, а не 8x.

Как упростить выражение и сократить дробь

Иногда ФСУ — не вся задача, а один шаг внутри неё.

Возьмём:

(x+3)²-(x-3)².

Можно раскрыть обе скобки:

x²+6x+9-(x²-6x+9).

Аккуратно раскрываем минус перед второй скобкой:

x²+6x+9-x²+6x-9.

Остаётся:

12x.

Но здесь есть и более короткий путь. Выражение устроено как разность двух квадратов:

A²-B²=(A-B)(A+B),

где

A=x+3;

B=x-3.

Тогда:

[(x+3)-(x-3)]·[(x+3)+(x-3)].

Первая скобка:

x+3-x+3=6.

Вторая:

x+3+x-3=2x.

Получаем:

6·2x=12x.

Оба способа верные, но второй показывает, зачем вообще нужны ФСУ: иногда они позволяют увидеть короткий путь.

Теперь пример с дробью:

(x²-9)/(x-3).

В числителе разность квадратов:

x²-9=(x-3)(x+3).

Подставляем:

((x-3)(x+3))/(x-3).

При x≠3 общий множитель x-3 сокращается:

x+3.

Здесь ФСУ помогла не «решить дробь целиком», а разложить числитель так, чтобы появился общий множитель.

Если нужно повторить базовые правила работы с дробями, пригодится отдельный разбор: как решать дроби.

Как считать быстрее без калькулятора

ФСУ полезны не только в буквенных выражениях.

Например, нужно найти:

99².

Можно умножать 99·99 столбиком. А можно заметить:

99=100-1.

Тогда:

99²=(100-1)².

Используем квадрат разности:

100²-2·100·1+1².

Получаем:

10000-200+1=9801.

Теперь:

101²=(100+1)².

По квадрату суммы:

10000+200+1=10201.

Ещё один пример:

48·52.

Числа расположены симметрично вокруг 50:

48=50-2;

52=50+2.

Значит,

48·52=(50-2)(50+2).

Это произведение разности и суммы:

a-b и a+b.

Получаем разность квадратов:

50²-2²=2500-4=2496.

Вот тот случай, когда формула экономит не одну строчку в тетради, а реальное время в устном счёте.

Как решать уравнения с помощью формул сокращённого умножения

ФСУ не являются отдельным «типом уравнений». Они помогают преобразовать уравнение так, чтобы дальше оно стало обычным.

Возьмём:

(x-4)(x+4)=9.

Слева видим произведение разности и суммы одинаковых выражений. Это разность квадратов:

x²-16=9.

Переносим 16:

x²=25.

Значит:

x=5 или x=-5.

Проверим:

для x=5:

(5-4)(5+4)=1·9=9;

для x=-5:

(-5-4)(-5+4)=(-9)·(-1)=9.

Оба корня подходят.

Теперь другой пример:

(x+2)²=x²+10.

Здесь удобно раскрыть квадрат суммы:

x²+4x+4=x²+10.

Сокращаем x² с обеих сторон:

4x+4=10.

4x=6.

x=3/2.

Если бы мы не узнали квадрат суммы, всё равно можно было бы раскрыть скобки обычным умножением. Но ФСУ делает этот шаг быстрее и снижает риск потерять один из членов.

Есть полезный вопрос перед началом: «Формула сейчас упростит уравнение или, наоборот, сделает его длиннее?» Иногда лучше свернуть выражение, иногда — раскрыть. Универсального правила «всегда раскрывай скобки» нет.

Как читать и запомнить формулы сокращённого умножения

Если пытаться выучить все формулы как семь строк с буквами, они действительно начинают смешиваться. Гораздо легче запоминать их семьями и каждый раз понимать, что стоит за записью.

Сначала три формулы с квадратами:

• квадрат суммы;
• квадрат разности;
• разность квадратов.

Затем четыре с кубами:

• куб суммы;
• куб разности;
• сумма кубов;
• разность кубов.

Так в голове появляются не семь разрозненных записей, а две группы.

Полезно проговаривать формулу словами. Например:

(a-b)²=a²-2ab+b².

Не «а минус б в квадрате…», а:

«Квадрат первого, минус удвоенное произведение первого и второго, плюс квадрат второго».

Когда ребёнок проговаривает структуру, он запоминает не порядок символов, а смысл.

Это особенно важно для квадратов. Если забыли формулу квадрата суммы, её можно восстановить:

(a+b)(a+b).

Раскрыли скобки и снова получили:

a²+2ab+b².

То есть забытая формула не превращает задачу в тупик.

Для куба суммы удобно помнить коэффициенты:

1-3-3-1.

Для куба разности коэффициенты те же, а знаки чередуются:

+ — + -.

У суммы и разности кубов полезнее держать в голове не всю вторую скобку целиком, а правило знаков:

• первая скобка сохраняет знак между кубами;
• во второй скобке знак среднего члена меняется на противоположный;
• последний член всегда +b².

Например:

a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²);

a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²).

Можно устроить себе короткую самопроверку без тетради:

1. Назвать формулу словами.
2. Записать её по памяти.
3. Проверить, откуда берётся средний член.
4. Придумать простой пример.
5. Проверить пример обычным раскрытием скобок.

Если на каком-то шаге возникает заминка, повторять нужно не все семь формул, а именно эту одну.

Частые ошибки в формулах сокращённого умножения

Ошибки здесь довольно предсказуемы. Это хорошо: если заранее знать, где обычно «спотыкаются», легче заметить себя в момент решения.

Ошибка 1. Потерять 2ab в квадрате суммы или разности

Неверно:

(a+b)²=a²+b².

Почему это ошибка? Потому что квадрат суммы — это произведение:

(a+b)(a+b).

При раскрытии появляются два одинаковых средних произведения:

ab+ab=2ab.

Правильно:

(a+b)²=a²+2ab+b².

Точно так же:

(a-b)²=a²-2ab+b².

Ошибка 2. Перепутать квадрат разности и разность квадратов

Это разные записи:

(a-b)²

и

a²-b².

Первая раскрывается:

a²-2ab+b².

Вторая раскладывается:

(a-b)(a+b).

Если сомневаетесь, задайте себе вопрос: «Квадрат стоит над всей скобкой или отдельно над каждым выражением?»

Ошибка 3. Поставить минус перед последним членом квадрата разности

Неверно:

(a-b)²=a²-2ab-b².

Правильно:

(a-b)²=a²-2ab+b².

Почему плюс? Потому что последнее слагаемое получается как:

(-b)·(-b)=+b².

Два минуса при умножении дают плюс.

Ошибка 4. Не возвести коэффициент в степень

Например:

(3x+2)².

Неверно начинать с 3x².

В квадрат возводится всё выражение 3x:

(3x)²=9x².

Поэтому:

(3x+2)²=9x²+12x+4.

Ошибка 5. Перепутать куб суммы и сумму кубов

(a+b)³

не равно

a³+b³.

У куба суммы четыре слагаемых:

a³+3a²b+3ab²+b³.

А сумма кубов:

a³+b³

раскладывается на множители:

(a+b)(a²-ab+b²).

Здесь снова помогает смотреть на конструкцию целиком: есть общая скобка в кубе или два отдельных куба?

Ошибка 6. Потерять знаки в кубе разности

Формула:

(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³.

Знаки чередуются:

+ — + -.

Если подряд поставить три минуса, получится другая запись.

Ошибка 7. Искать «формулу суммы квадратов» там, где её нет

Квадрат суммы:

(a+b)²

и сумма квадратов:

a²+b²

— не одно и то же.

В школьном курсе над действительными числами отдельной ФСУ для разложения a²+b² на линейные множители нет.

Например,

x²+9

нельзя разложить по той же схеме, что

x²-9.

Для разности квадратов есть формула:

x²-9=(x-3)(x+3).

Для суммы квадратов такого школьного разложения над действительными числами нет.

Как быстро проверить себя

Если результат вызывает сомнение, есть три надёжных способа.

1. Раскрыть скобки обратно.
Если после обратного действия вернулись к исходному выражению, преобразование, скорее всего, сделано верно.

2. Подставить простое число.
Например, вместо x взять 1 или 2 и сравнить левую и правую части.

3. Проверить структуру формулы.
У квадрата суммы и разности должно быть три члена; крайние — квадраты, средний — удвоенное произведение. У куба суммы и разности — четыре члена с коэффициентами 1, 3, 3, 1.

Тренажёр по формулам сокращённого умножения

После объяснений формулы лучше сразу потренировать. Здесь будет интерактивный тренажёр, в котором ребёнок не просто выбирает ответ, а учится узнавать формулу внутри конкретного выражения.

Логика такая: сначала на экране появляется пример, например (3x-5)². Ребёнок определяет, какая формула здесь спрятана, затем выбирает её буквенную запись и только после этого — правильное преобразование самого примера.

Если ответ неверный, тренажёр не ограничивается сообщением «ошибка». Он объясняет по-человечески: что стоило заметить, что здесь играет роль a и b, где потерялся знак или коэффициент и как проверить себя.

Для разложения на множители будет самопроверка: ребёнок сначала решает сам, затем открывает подробное объяснение — какой должна быть запись и почему.

Формулы сокращённого умножения для степеней 4, 5 и выше

Иногда встречается вопрос: а что делать с (a+b)⁴, (a-b)⁵ или ещё более высокой степенью? Отдельные разложения для них существуют, но это уже продолжение темы, а не часть привычной школьной памятки из квадратов и кубов.

Например,

(a+b)⁴ = a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴.

Если присмотреться, здесь тоже есть порядок: степени a постепенно уменьшаются, степени b растут, а коэффициенты идут 1, 4, 6, 4, 1.

Но учить отдельную формулу для каждой новой степени неудобно. Для более высоких степеней используют общие способы разложения, в частности формулу бинома Ньютона. Это отдельная тема, и смешивать её с базовыми ФСУ не стоит.

Для школьной работы сначала уверенно освойте квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов и — если они есть в вашей программе — четыре кубические формулы. Высшие степени имеет смысл брать уже после этого.

Частые вопросы о формулах сокращённого умножения

В каком классе проходят формулы сокращённого умножения? В базовой федеральной программе тема формул сокращённого умножения входит в 7 класс: прямо названы квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. В углублённой программе 7 класса добавляются куб суммы, куб разности, сумма кубов и разность кубов.

В 8 и 9 классах ФСУ никуда не исчезают: они встречаются внутри более сложных преобразований, дробей, уравнений и других тем. Поэтому если ребёнок «прошёл формулы» в 7 классе, это не значит, что их можно забыть после контрольной.

Что нужно запомнить

Формулы сокращённого умножения легче запоминать не по одной, а семьями: отдельно квадратные, отдельно кубические. Ещё важнее научиться узнавать их в выражении и применять в обе стороны. Если формула забылась, часть из них можно восстановить обычным раскрытием скобок — понимание здесь надёжнее зубрёжки.

Когда тренажёр появится в статье, лучше начинать с своего уровня программы и переходить дальше только после того, как формула узнаётся не по названию задания, а прямо внутри примера.